อนุกรมโทรทรรศน์ข้อนี้ทำยังไงคะข้างล่างมี3พจน์

พยายามจัดรูปค่ะ หน้าตาแบบนี้ ส่วนใหญ่จะจัดให้อยู่ในรูปการลบ
จากโจทย์

S_n =

1

123

+

1

234

+

1

345

+ ... +

1

n(n+1)(n+2)

-----------------------------------------
ทดก่อนนะ

ดูแค่พจน์แรก พจน์เดียวก่อน
จาก

1

123

อยากได้แบบนี้

1

12

-

1

23

อยู่ดีๆ จะเปลี่ยนเลยไม่ได้ ต้องมาคิดว่า เศษเป็นเท่าไหร่
คิดได้จาก เอาสิ่งที่อยากได้ขึ้นต้น

1

12

-

1

23

ทำเหมือนจะลบเศษส่วน ทำส่วนให้เท่ากัน
=

1

12

3

3

-

1

23

1

1

ส่วนเท่าแล้ว จะเขียนใหม่ได้เป็น
=

3 - 1

123

=

2

123

เห็นที่เศษ ได้ 2 นั่นคือสิ่งที่หาอยู่

ถ้าลองทำพจน์อื่นๆด้วย จะเห็นว่า ได้เศษเป็น 2 เท่ากันหมดเลย
สรุปคือ ถ้าอยากเขียนแยกให้อยู่ในรูปการลบ จะต้องคูณ 2 เพิ่มเข้าไป

------------------------------------
จาก
S_n =

1

123

+

1

234

+

1

345

+ ... +

1

n(n+1)(n+2)

คูณ 2 ตลอดสมการ
2S_n = 2(

1

123

+

1

234

+

1

345

+ ... +

1

n(n+1)(n+2)

)

ทางขวาพอคูณกระจาย 2 เข้าไปที่ทุกพจน์ แต่ละพจน์จะเขียนในรูปการลบได้แบบนี้
2S_n =

1

12

-

1

23

+

1

23

-

1

34

+

1

34

-

1

45

+ ... +

1

n(n+1)

-

1

(n+1)(n+2)

จะมีที่ลบกันได้เยอะเลย เหลือแค่นี้ค่ะ
2S_n =

1

12

-

1

(n+1)(n+2)

S_n =

1

2

(

1

12

-

1

(n+1)(n+2)

)

คูณกระจายอีกหน่อย
S_n =

1

4

-

1

2(n+1)(n+2)

ตอบค่ะ


เรื่องลำดับและอนุกรม มีคอร์สกลุ่มบทสอนที่นี่ค่ะ
https://www.dektalent.com/course/math-sequence-series/