ถามการบ้านเรื่องลำดับเเละอนุกรมค่ะ

จำนวนเต็มบวกที่เป็นเลขสามหลักที่หารด้วย 5 หรือ 11 ลงตัว มีทั้งหมดกี่จำนวน

คิดก่อนว่า จำนวนเต็มบวกที่เป็นเลขสามหลัก มีอะไรบ้าง ก็จะมี
100, 101, 102, ..., 999
ข้อนี้ก็จะสนใจเลขในช่วงนี้เท่านั้น


โจทยต้องการที่หารด้วย 5 หรือ 11 ลงตัว
นี่มาจากเรื่องเซตค่ะ สังเกตว่าเชื่อมด้วย "หรือ" คิดเหมือนยูเนียนค่ะ

จำนวนที่หารด้วย 5 หรือ 11 ลงตัว = จำนวนที่หารด้วย 5 ลงตัว + จำนวนที่หารด้วย 11 ลงตัว - จำนวนที่หารด้วย 5 และ 11 ลงตัว

ค่อยๆ หามาทีละอย่างค่ะ

เริ่มจาก
จำนวนที่หารด้วย 5 ลงตัว จะได้เป็น
100, 105, 110, ... , 995 นี่มาจากการคิดเลขค่ะ คิดเอาว่า5 หารลงมีอะไรบ้าง
เป็นลำดับเลขคณิต a₁ = 100 , d = 5 , a_n = 995 ค่ะ
เข้าสูตร    a_n = a₁ + (n - 1)d
            995 = 100 + (n - 1)(5)
            995 = 100 + 5n - 5
      995 - 100 + 5 = 5n
            900 = 5n
            

900

5

= n
                n = 180 ---- > นี่คือ มี 180 จำนวนที่ 5 หารลงตัว

หาจำนวนที่ 11 หารลงตัว
ทำแบบเดียวกันเลย จำนวนที่ 11 หารลงตัว มี
110, 121,..., 990       นี่มาจากการคิดเลขค่ะ คิดเอาว่า 11 หารลงมีอะไรบ้าง
เป็นลำดับเลขคณิต มี a₁ = 110, d = 11, a_n = 990
เข้าสูตร    a_n = a₁ + (n - 1)d
            990 = 110 + (n - 1)(11)
            990 = 110 + 11n - 11
      990 - 110 + 11 = 11n
            891 = 11n
            

891

11

= n
                n = 81 ---- > นี่คือ มี 81 จำนวนที่ 11 หารลงตัว

หา จำนวนที่ 5 และ 11 หารลงตัว
ให้เอา 5 กับ 11 ไปหา ครน. ค่ะ ได้ 55
จำนวนที่ 5 และ 11 หารลงตัว คือ จำนวนที่ 55 หารลงตัวค่ะ

เขียนเป็นลำดับออกมา
110, 165, ..., 990
เป็นลำดับเลขคณิต มี a₁ = 110, d = 55, a_n = 990
เข้าสูตร    a_n = a₁ + (n - 1)d
            990 = 110 + (n - 1)(55)
            990 = 110 + 55n - 55
      990 - 110 + 55 = 55n
            935 = 55n
            

935

55

= n
                n = 17 ---- > นี่คือ มี 17 จำนวนที่ 55 หารลงตัว


เอาไปเข้าสมการที่เขียนไว้ตอนแรก
จำนวนที่หารด้วย 5 หรือ 11 ลงตัว = จำนวนที่หารด้วย 5 ลงตัว + จำนวนที่หารด้วย 11 ลงตัว - จำนวนที่หารด้วย 5 และ 11 ลงตัว
                                             = 180 + 81 - 17
                                             = 244 จำนวน #ตอบค่ะ

-----------------------------------------------------------------------

มีวิธีลัดด้วยนะ

จาก 100 - 999 หาว่า 5 หารลงตัวมีกี่จำนวน
เอา 99 ตั้งหารด้วย 5 ได้ผลลัพธ์เป็น 19 เศษช่างมัน
เอา 999 ตั้งหารด้วย 5 ได้ผลลัพธ์เป็น 199 เศษช่างมัน
สรุปมีจำนวนที่ 5 หารลงตัว = 199 - 19 = 180 จำนวน

จาก 100 - 999 หาว่า 11 หารลงตัวมีกี่จำนวน
เอา 99 ตั้งหารด้วย 11 ได้ผลลัพธ์เป็น 9 เศษช่างมัน
เอา 999 ตั้งหารด้วย 11 ได้ผลลัพธ์เป็น 90 เศษช่างมัน
สรุปมีจำนวนที่ 11 หารลงตัว = 90 - 9 = 81 จำนวน

จาก 100 - 999 หาว่า 55 หารลงตัวมีกี่จำนวน
เอา 99 ตั้งหารด้วย 55 ได้ผลลัพธ์เป็น 1 เศษช่างมัน
เอา 999 ตั้งหารด้วย 55 ได้ผลลัพธ์เป็น 18 เศษช่างมัน
สรุปมีจำนวนที่ 55 หารลงตัว = 18 - 1 = 17 จำนวน

สรุปได้
จำนวนที่หารด้วย 5 หรือ 11 ลงตัว = จำนวนที่หารด้วย 5 ลงตัว + จำนวนที่หารด้วย 11 ลงตัว - จำนวนที่หารด้วย 5 และ 11 ลงตัว
                                             = 180 + 81 - 17
                                             = 244 จำนวน #ตอบค่ะ

คำตอบเท่ากันเลย
วิธีลัดพี่ไม่ได้อธิบายให้อย่างละเอียดนะคะ
มีคลิป VDO สอนอยู่แล้วในเรื่องลำดับและอนุกรมค่ะ
https://www.dektalent.com/lesson/14-sequence-and-series/

อยู่ในคอร์สเพิ่มเกรดคณิต ม. 5 ค่ะ
https://www.dektalent.com/course/math-m5/

ม.5 เรียนแค่ลำดับและอนุกรมจำกัดค่ะ
ส่วนของ ลำดับและอนุกรมอนันต์ จะอยู่ใน ม.6