ช่วยแก้โจทย์อนุกรมข้อนี้หน่อยค่ะ

หา a_n มาก่อน

เขียนแยกออกมา
ตัวแรกของแต่ละพจน์จะเป็น 1, 3, 5 , 7 ,... นี่เป็นลำดับเลขคณิต d = 2, a₁ = 1
เอาไปเข้าสูตรพจน์ทั่วไปของลำดัับเลขคณิตค่ะ จะได้ a_n = 2n - 1

ตัวหลังของแต่ละพจน์จะเป็น 2, 4, 8, 16,... นี่เป็นลำดับเรขาคณิต r = 2 ,a₁ = 2
เอาไปเข้าสูตรพจน์ทั่วไปของลำดัับเรขาคณิตค่ะ จะได้ a_n = 2ⁿ

เอามาเขียนติดกัน สรุปอนุกรมนี้ จะได้
a_n = (2n -1)(2ⁿ)

เจอแบบนี้ใช้วิธีลบทแยงค่ะ
เขียน S_n ได้เป็น
S_n = 12 + 34 + 58 + 716 + ... + (2n - 1)2ⁿ ----(1)
เอาค่า r=2 เป็นตัวคูณตลอด จะได้
2S_n = 14 + 38 + 516 + 732 + ... + (2n - 1)2ⁿ⁺¹ ----(2)

---------------------------------------
อธิบายเพิ่มตัวท้าย เผื่องง
(2n - 1)2ⁿ
คูณ 2 จะได้ (2n - 1)2ⁿ 2
2 ก็คือ 2¹ นั่นแหล่ะ เลยจะได้
(2n - 1)2ⁿ⁺¹
----------------------------------------

เอา (1) - (2) ลบทแยง จับตัวที่ตัวคูณข้างหลังเหมือนกันมาลบกันค่ะ ดูที่ทำคู่สีไว้
การลบทแยงเป็นวิธีนึงในการหาผลบวกอนุกรม น่าจะเคยเรียนมาบ้างนะ ไม่งั้นอาจจะรู้สึกงงนิดหน่อย

ลบเลยนะ จะเหลือแค่นี้
- S_n = 12 + 24 + 28 + 216 + ... + 22ⁿ - (2n - 1)(2ⁿ⁺¹)

- S_n = 12 + 24 + 28 + 216 + ... + 22ⁿ - (2n - 1)(2ⁿ⁺¹)
ตรงที่ทำสีแดงเป็นอนุกรมเรขาคณิต มี n - 1 พจน์ เข้าสูตร S_n =

a1(rn - 1)

r - 1

- S_n = 12 + [

(24)(2n-1 - 1)

2 - 1

] - (2n - 1)(2ⁿ⁺¹)

- S_n = 2 + 8(2^{n - 1} - 1) - (2n - 1)(2ⁿ⁺¹)
ทางซ้ายยังเป็น - S_n อยู่นะ เอา -1 คูณตลอดจะได้เป็นบวกค่ะ จะได้
S_n = - 2 - 8(2^{n - 1} - 1) + (2n - 1)(2ⁿ⁺¹)

จัดรูปต่อเองนะ