ถามโจทย์แคลคูลัส เรื่องอนุพันธ์ของฟังก์ชันค่ะ

f(x) = Ax³ + Bx² + Cx + D

เส้นตรง y = 4x - 4 สัมผัสกราฟที่จุด (1,0)
แปลว่า จุดนี้อยู่บน f(x) ด้วย แทนค่าได้ค่ะ

f(x) = Ax³ + Bx² + Cx + D
แทน (1,0)
0 = A(1)³ + B(1)² + C(1) + D
0 = A + B + C + D    -------(1)

นอกจากนี้ ตรงจุดที่สัมผัส จะเป็นจุดที่ f(x) กับ เส้นตรงที่สัมผัส มีความชันเท่ากัน
y = 4x - 4 เส้นนี้ ความชัน = 4

หาความชันเส้นโค้ง
f'(x) = 3Ax² + 2Bx + C
ตรงที่ความชันเท่ากัน คือ ตรง x = 1 มาจากจุด (1,0) ค่ะ แทนค่าเลย
4 = 3A(1)² + 2B(1) + C
4 = 3A + 2B + C    -------(2)


มีอีกเส้น คือ y = 7x - 9 สัมผัสกราฟที่จุด (2,5)
แปลว่า จุดนี้อยู่บน f(x) ด้วย แทนค่าได้ค่ะ
5 = A(2)³ + B(2)² + C(2) + D
5 = 8A + 4B + 2C + D    -------(3)

เรื่องความชัน คิดทำนองเดียวกันเลย
y = 7x - 9 ความชัน คือ 7

จาก f'(x) = 3Ax² + 2Bx + C
สัมผัสที่จุด (2,5) แทนค่าเลย เอาแค่ x = 2 มาใช้ค่ะ
7 = 3A(2)² + 2B(2) + C
7 = 12A + 4B + C    -------(4)

ติด 4 ตัวแปร มี 4 สมการ แก้ได้แน่นอนค่ะ
แก้ระบบสมการ
0 = A + B + C + D    -------(1)
4 = 3A + 2B + C    -------(2)
5 = 8A + 4B + 2C + D    -------(3)
7 = 12A + 4B + C    -------(4)

เอา (3) - (1)
5 = 7A + 3B + C    -----(5)
เอา (4) - (5)
2 = 5A + B    -----(6)
เอา (5) - (2)
1 = 4A + B    -----(7)

เอา (6) - (7)
1 = A
แทนใน (6) หรือ (7) ก็ได้ เพื่อหา B จะแทนใน(7) นะ
1 = 4(1) + B
B = 1 - 4
B = -3

แทน A = 1, B = -3 ใน (2) จะได้ค่า C
4 = 3A + 2B + C    -------(2)
4 = 3(1) + 2(-3) + C
4 = 3 - 6 + C
C = 7

แทน A,B,C ใน (1) จะได้ D
0 = A + B + C + D    -------(1)
0 = 1 +(-3) + 7 + D
D = -5

สรุปได้ f(x) = x³ - 3x² + 7x - 5

โจทย์ถาม A - B + C - D
แทนค่าที่หาได้มา คิดเลขก็จะได้คำตอบค่ะ